Euclides nunca estuvo aquí

Kurt Gödel y el porqué la Matemática no es una ciencia exacta,

 

 Según el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española, la palabra consistencia significa duración, estabilidad, solidez y también trabazón, coherencia entre las partículas de una masa o de elementos de un conjunto. 

Las Matemáticas definen la consistencia de una teoría o sistema axiomático, como su capacidad para no contradecirse, es decir, con los recursos que proporcionan sus axiomas y afirmaciones es imposible concluir que  algo es cierto y a la vez que no lo es. Por ejemplo si digo "Esta frase es falsa", y supongo que la frase es falsa y lo que afirma no es verdad, se contradice la suposición de que es falsa. Si la frase fuera verdad, se afirma lo que dice y esto contradice también la suposición de que sea verdadera. No hay manera de asegurar si la frase es verdadera o falsa. Una teoría consistente, sería aquella en la que no se pueden dar paradojas como la anterior para que, como dice el diccionario de la RAE proporcione estabilidad, solidez y trabe sus elementos y resultados de forma irrefutable.

Las Matemáticas definen también la completitud de una teoría como su cualidad o capacidad para demostrar que cualquier afirmación, relativa a ese sistema, o es cierta o no lo es, se puede decidir solo una de las dos posibilidades. De otra forma, un sistema sería incompleto cuando no puede verificar la certeza o no de una afirmación de manera que se pueden generar situaciones en las que no se puede decidir..

Consistencia: no hay contradicciones.

Completitud: todo se puede decidir.

Pues bien el señor Kurt Gödel allá por el año 1939,  ( por aquí estábamos perdiendo una guerra)  incorpora los elementos de la aritmética (Gödelización) a la sintáctica y la semántica del metalenguaje utilizado en la lógica matemática (metamatemática), para demostrar que si una teoría matemática es consistente, no puede ser completa, o lo que es lo mismo si una teoría es sólida y robusta y no da lugar a paradojas en sus afirmaciones, entonces existirán, sin duda, resultados que serán indecidibles y nunca se podrá confirmar si son verdaderos o falsos. Lo que es lo mismo que afirmar que si todos los resultados de una teoría son demostrables y se puede decidir si son verdaderos o no, entonces esa teoría sería inconsistente dando lugar a paradojas matemáticas que demostrarían que algo es cierto y no lo es simultáneamente. A la porra pues con la denominación de las Matemáticas como Ciencias Exactas.

No se debe olvidar que estas disquisiciones logicistas se hacen en torno al sistema axiomático de la aritmética y que hoy en día existen procedimientos como la inducción transfinita, el tratamiento e importancia del azar, el cálculo numérico, la lógica difusa y otros tantos caminos que permitirán verificar si cualquier afirmación es demostrable, refutable o indecidible. Así bien acaba lo que no acaba.